Hé! Mint sokrétű beszállító, gyakran kérdeznek mindenféle műszaki cuccról, amely a sokrétűekhez kapcsolódik. Az egyik kérdés, amely meglehetősen felmerül, az: "Mik a sokrétű homotopia csoportjai?" Nos, belemerüljünk jól, és bontjuk le ezt olyan módon, amely könnyen érthető.
Először beszéljünk arról, hogy mi az elosztó. Egyszerűen fogalmazva: az elosztó egy divatos matematikai objektum, amely helyben úgy néz ki, mint az euklideai tér. Gondolj rá úgy, mint egy olyan felületre, amelyen sétálhat, de mindenféle módon ívelhető és csavart lehet. Például egy gömb egy 2 dimenziós elosztó. Vehet egy kis foltot a gömbön, és ha elég közel van, akkor úgy néz ki, mint egy lapos papírdarab (ami 2 - dimenziós euklideai tér).
Most a homotopia csoportok egy módja annak, hogy a "lyukakat" és a "csavarokat" egy elosztóban tanulmányozzuk. A legismertebb homotopia csoport az alapvető csoport, amelyet $ \ pi_1 $ -nak jelölnek. Az alapvető csoport elmondja neked az egy -egy dimenziós lyukakról. Tegyük fel, hogy egy elosztóban vagy, és egy ponton indul, sétálsz egy hurokban, és térj vissza ugyanabba a pontra. Az alapvető csoport ezeket a hurkokat egy bizonyos ekvivalencia -viszonyba osztályozza, az úgynevezett homotopy -nak.
Mit jelent a "Homotopyig"? Nos, a két hurok homotopikus, ha folyamatosan deformálhatja az egyik hurkot a másikba anélkül, hogy megtörné, vagy mozgatja a kiindulási és befejező pontokat. Például egy gömbön minden hurok egyetlen pontra csökkenhet. Tehát a gömb, a $ \ pi_1 (S^2) $ alapvető csoportja triviális, ami azt jelenti, hogy csak egy eleme van (a hurok ekvivalencia osztálya, amely csak egyetlen ponton marad).
De mi van a magasabb dimenziós homotopia csoportokkal? A $ n $ - TH homotopia csoport, a $ \ pi_n $, a $ n $ -dimenziós lyukakról szól. Például a $ \ pi_2 $ körülbelül 2 - méretű lyukak. Gondolhat egy 2 -méretű lyukra, mint egy buborékra egy 3 - D térben.
A homotopia csoportok kiszámítása valódi fájdalom lehet a nyakban. Valójában a legtöbb sokrétű esetében rendkívül nehéz megtalálni az összes homotopia csoportjukat. De vannak olyan esetek, amikor viszonylag könnyen meg tudjuk csinálni. Az egyik leghíresebb eredmény a $ n $ - gömb, $ s^n $. Tudjuk, hogy a $ \ pi_k (s^n) $ triviális (azaz csak egy elem), amikor $ k <n $, kivéve, ha $ k = 0 $. A 0 - TH homotopia csoport, a $ \ pi_0 $, csak egy elosztó csatlakoztatott komponenseiről szól. Ha egy elosztó csatlakoztatva van (bármely ponttól bármely más pontig eljuthat, ha a sokrétű út mentén sétálhat), akkor a $ \ pi_0 $ triviális.
Ha $ k = n $, akkor $ \ pi_n (s^n) $ izomorf az egész számokhoz $ \ mathBB {z} $. Ez azt jelenti, hogy a $ n $ - dimenziós hurkok egy $ n $ - szférán egy egész számmal besorolhatók. Gondolhat erre az egész számra, mint a $ n $ -dimenziós értelemben a szféra körüli "tekercsel".
Most miért kellene törődnünk a homotopia csoportokkal? Nos, szuper fontosak a matematika és a fizika sok területén. Például a fizikában a homotopia csoportok felhasználhatók a tér topológiájának megértésére - az időközönség. Segíthetnek nekünk a részecskék és mezők viselkedésének tanulmányozásában is, különböző topológiai környezetben.
A sokrétűek világában néhány hűvös kapcsolatunk van a különböző homotopia csoportok között. Az egyik leghíresebb a Hurewicz -tétel. A Hurewicz -tétel kapcsolatot teremt a homotopia csoportok és az elosztó homológiai csoportjai között. A homológiai csoportok egy másik módja annak, hogy a lyukakat elosztóban tanulmányozzák, ám bizonyos esetekben kissé könnyebb kiszámítani. A Hurewicz -tétel szerint bizonyos körülmények között az első nem triviális homotopia csoport és az első nem triviális homológiai csoport izomorf.
Mint sokrétű beszállító, mindenféle sokrétűvel foglalkozom a való világban. Akár elektromos alkalmazásokra, akár más ipari felhasználásra vonatkozik, a topológiai tulajdonságok, például a homotopia csoportok megértése nagyon hasznos lehet. Például az elektromos rendszerekben gyakran sokréteket használunk huzalozáshoz és csatlakozáshoz. Nagyszerű termék ebben a tekintetben aRézvezeték -csatlakozó- Ezek a terminálok sok elektromos elosztó alapvető részét képezik, amelyek megbízható és hatékony módszert kínálnak a vezetékek csatlakoztatására.
Amikor tervezünk és gyártunk, nemcsak a fizikai tulajdonságokat, hanem a topológiai tulajdonságokat is figyelembe kell vennünk. A homotopia csoportok betekintést nyújthatnak számunkra, hogy az elosztó hogyan viselkedik különböző helyzetekben. Például, ha egy elosztó nem triviális homotopia -csoportokkal rendelkezik, ez azt jelentheti, hogy vannak olyan "rejtett" topológiai tulajdonságok, amelyek befolyásolhatják a villamosenergia vagy más anyagok áramlását az elosztón keresztül.
Vessen egy pillantást néhány olyan sokrétű példára, amelyeket általában nyújtunk. Az egyik legalapvetőbb a Torus, a $ t^2 $. A Torus olyan, mint egy fánk alakú. Alapvető csoportja, a $ \ pi_1 (t^2) $, izomorf a $ \ MathBB {Z} \ Times \ MathBB {Z} $. Ez azt jelenti, hogy a toruson két független hurok van. Van egy hurok, amely a fánk lyuka körül megy, és egy másik hurok, amely a fánk testén megy körül. Ezt a két hurkot nem lehet folyamatosan deformálni egymásba.
Egy másik érdekes elosztó a projektív sík, a $ \ MathBB {r} p^2 $. A projektív sík alapvető csoportja, a $ \ pi_1 (\ MathBB {R} p^2) $, a $ \ MathBB {Z}/2 \ MathBB {Z} $. Ez azt jelenti, hogy két ekvivalencia -osztály létezik a hurkokból: az egyik egy pontra lehet zsugorodni, és a másikat nem lehet egy pontra csökkenteni, de ha kétszer körbejárja, akkor egy pontra zsugorodhat.
Ha a sokrétűek piacán van, akár kutatás, ipari alkalmazások vagy bármi más, a homotopia csoportok megértése segíthet a jobb döntések meghozatalában. A topológiai tulajdonságai alapján választhatja ki a megfelelő típusú elosztót. És itt jönünk be. Mint sokrétű beszállító, széles körű sokrétű, mindegyik saját egyedi tulajdonságokkal rendelkezik.
Mindig örömmel segítünk abban, hogy kitaláljuk, melyik sokrétű a legmegfelelőbb az Ön igényeinek. Függetlenül attól, hogy matematikus vagy egy speciális típusú kutatáshoz, vagy olyan mérnöknek, aki ipari projekthez szükséges, és magunkra van szükség, akkor fedeztük Önt. Ha érdekli, hogy többet megtudjon termékeinkről, vagy bármilyen kérdése van a sokrétűekről és azok homotópia -csoportjairól, ne habozzon elérni. Cseveghetünk az Ön igényeiről, és megtalálhatjuk az Ön számára a tökéletes elosztót.
Tehát, ha a vásárló sokrétűre gondol, akkor csak dobjon el egy sort. Azért vagyunk itt, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a legjobb terméket kapja -e az alkalmazásához. És ki tudja, hogy talán egy kicsit megérteni a homotopia csoportokról, előnyt jelent a projektben.
Referenciák
- Hatcher, Allen. "Algebrai topológia." Cambridge University Press, 2002.
- Milnor, John W. "A topológia megkülönböztethető szempontból." Princeton University Press, 1997.
